Fractal Brownian Motion (pol. "fraktalne ruchy Browna")

Szum zwykle oznacza różne rzeczy dla różnych ludzi. Muzycy będą myśleć o nim w kategoriach przeszkadzających dźwięków, komunikatorzy jako o zakłóceniach, a astrofizycy jako o kosmicznym mikrofalowym promieniowaniu tła. Te koncepcje sprowadzają nas z powrotem do fizycznych przyczyn losowości w otaczającym nas świecie. Zacznijmy jednak od czegoś bardziej podstawowego i prostszego: od fal i ich właściwości. Fala jest fluktuacją w czasie jakiejś właściwości. Fale dźwiękowe to fluktuacje ciśnienia powietrza, fale elektromagnetyczne to fluktuacje pola elektrycznego i magnetycznego. Dwie ważne cechy fali to jej amplituda i częstotliwość. Równanie dla prostej liniowej (jednowymiarowej) fali wygląda tak:

• Spróbuj zmienić wartości częstotliwości i amplitudy, aby zrozumieć, jak się zachowują.
• Używając shaping functions, spróbuj zmienić amplitudę w czasie.
• Używając shaping functions, spróbuj zmienić częstotliwość w czasie.

Wykonując dwa ostatnie ćwiczenia udało Ci się "zmodulować" sinusoidę i właśnie stworzyłeś fale AM (modulowane amplitudą, ang. "amplitude modulated") i FM (modulowane częstotliwością, ang. "frequency modulated"). Gratulacje!!!

Inną ciekawą właściwością fal jest ich zdolność do sumowania się, co formalnie nazywa się superpozycją. Skomentuj/odkomentuj i zmodyfikuj poniższe linijki. Zwróć uwagę, jak zmienia się ogólny wygląd wykresu, gdy dodajemy do siebie fale o różnych amplitudach i częstotliwościach.

• Eksperymentuj, zmieniając częstotliwość i amplitudę dla dodatkowych fal.
• Czy jest możliwe, aby dwie fale wzajemnie się zniosły? Jak to będzie wyglądało?
• Czy można dodać fale w taki sposób, że będą się one wzajemnie wzmacniać?

W muzyce każda nuta jest związana z określoną częstotliwością. Układ częstotliwości tych nut nazywamy skalą, gdzie podwojenie lub zmniejszenie częstotliwości o połowę odpowiada skokowi o jedną oktawę.

Teraz użyjmy szumu Perlina zamiast sinusoidy! Szum Perlina w swojej podstawowej formie wygląda podobnie do sinusoidy. Jego amplituda i częstotliwość różnią się nieco, ale amplituda pozostaje w miarę stała, a częstotliwość jest ograniczona do dość wąskiego zakresu wokół częstotliwości środkowej. Szum nie jest jednak tak regularny jak sinusoida, tym bardziej, gdy zsumujemy jego kilka przeskalowanych wersji. Można sprawić, że suma fal sinusoidalnych również będzie wyglądać na przypadkową, ale potrzeba wielu różnych fal, aby ukryć ich okresową, regularną naturę.

Poprzez dodanie różnych iteracji szumu (octaves, pol. "oktawy"), gdzie kolejno zwiększamy częstotliwości w regularnych krokach (lacunarity, pol. "lakunarność") i zmniejszamy amplitudę (gain, pol. "wzmocnienie"), otrzymamy szum bardziej granularny, zawierający więcej detali. Technikę tę nazwywamy "fractal Brownian Motion" (fBM) lub, po prostu "fractal noise" (pol. "szum fraktalny"). W swojej najprostszej postaci, możemy go stworzyć w następujący sposób:

• Stopniowo zmieniaj liczbę oktaw z 1 do 2, 4, 8 i 10. Zobacz, co się stanie.
• Gdy masz więcej niż 4 oktawy, spróbuj zmienić wartość lacunarity.
• Również przy >4 oktawach zmień wartość gain i zobacz, co się stanie.

Zauważ, że z każdą dodatkową oktawą krzywa wydaje się być bardziej szczegółowa. Zauważ też, że w miarę dodawania kolejnych oktaw występuje efekt samopodobieństwa - jeśli powiększysz krzywą, powiększona część wygląda mniej więcej tak samo jak całość, a każda powiększona część wygląda mniej więcej tak samo jak każda inna. Jest to ważna właściwość fraktali matematycznych, a my symulujemy tę właściwość w naszej pętli. Nie tworzymy prawdziwego fraktala, ponieważ zatrzymujemy sumowanie po kilku iteracjach, ale teoretycznie rzecz biorąc, uzyskalibyśmy prawdziwy fraktal matematyczny, gdybyśmy pozwolili pętli trwać w nieskończoność i dodawali nieskończoną liczbę składowych szumu. W grafice komputerowej zawsze mamy limit najmniejszych szczegółów, które możemy wyrenderować, gdyż obiekty stają się mniejsze niż piksel, więc nie ma potrzeby wykonywania nieskończonych sum, aby stworzyć wygląd fraktala. Czasami może być potrzebna duża ilość iteracji, ale nigdy nieskończona liczba.

Poniższy kod jest przykładem tego, jak fBm może być zaimplementowany w dwóch wymiarach, aby stworzyć wzór wyglądający jak fraktal:

• Zmniejsz liczbę oktaw poprzez zmianę wartości w linii 37
• Zmodyfikuj lacunarity fBm w linii 47
• Eksploruj zmianę gain na linii 48

Ta technika jest powszechnie używana do konstruowania proceduralnych krajobrazów. Samopodobieństwo fBm jest idealne dla gór, ponieważ procesy erozji, które tworzą góry, działają w sposób, który daje ten rodzaj samopodobieństwa w dużym zakresie skal. Jeśli jesteś zainteresowany tym zastosowaniem, powinieneś koniecznie przeczytać ten świetny artykuł Inigo Quilesa o zaawansowanym szumie.

Używając mniej więcej tej samej techniki, możliwe jest również uzyskanie innych efektów, takich jak turbulencja. Jest to w zasadzie fBm, ale skonstruowane z wartości bezwzględnej szumu (wariantu zwracającego również ujemne wartości), aby stworzyć ostre doliny w funkcji.

for (int i = 0; i < OCTAVES; i++) {
    value += amplitude * abs(snoise(st));
    st *= 2.;
    amplitude *= .5;
}

Innym członkiem tej rodziny algorytmów jest ridge (pol. "grzbiet"), w którym ostre doliny są odwrócone do góry nogami, tworząc zamiast nich ostre grzbiety:

    n = abs(n);     // Stwórz doliny
    n = offset - n; // Odwróć doliny, aby powstały grzbiety
    n = n * n;      // Zaostrz grzbiety

Innym użytecznym wariantem jest mnożenie składowych szumu zamiast ich dodawania. Interesujące jest również skalowanie kolejnych funkcji szumu za pomocą czegoś, co zależy od poprzednich terminów w pętli. Kiedy robimy takie rzeczy, odchodzimy od ścisłej definicji fraktala i wchodzimy w stosunkowo nieznaną dziedzinę "multifraktali". Multifraktale nie są tak ściśle zdefiniowane matematycznie, ale to nie czyni ich mniej użytecznymi dla grafiki. W rzeczywistości symulacje multifraktalne są bardzo powszechne we współczesnym komercyjnym oprogramowaniu do generowania terenu. Aby przeczytać więcej, możesz przeczytać rozdział 16 książki "Texturing and Modeling: a Procedural Approach" (3. edycja), autorstwa Kentona Musgrave. Niestety, książka ta jest już od kilku lat niedostępna w druku, ale wciąż można ją znaleźć w bibliotekach i na rynku wtórnym. (Istnieje wersja PDF pierwszego wydania dostępna do kupienia online, ale nie kupuj jej - to strata pieniędzy. Jest z 1994 roku i nie zawiera żadnych rzeczy związanych z modelowaniem terenu z 3. edycji).

Warping (pol. "zakrzywianie")

Inigo Quiles napisał też inny fascynujący artykuł o tym jak można użyć fBm do zakrzywienia przestrzeni fBm. Zdumiewające, prawda? To jak sen wewnątrz snu o Incepcji.

Mniej ekstremalnym przykładem tej techniki jest następujący kod, w którym zakrzywienie jest używane do wytworzenia tekstury przypominającej chmury. Zauważ, że właściwość samopodobieństwa jest nadal obecna.

Zakrzywianie współrzędnych tekstury za pomocą szumu może być bardzo użyteczne, daje dużo frajdy, ale jest diabelnie trudne do opanowania. Jest to potężne narzędzie, ale potrzeba sporo doświadczenia, aby dobrze je wykorzystać. Przydatnym wariantem jest też przemieszczanie współrzędnych za pomocą pochodnej (gradientu) szumu. Na tym pomyśle opiera się słynny artykuł Kena Perlina i Fabrice'a Neyreta o nazwie "flow noise". Niektóre nowoczesne implementacje szumu Perlina zawierają wariant, który oblicza zarówno funkcję, jak i jej gradient. Jeśli gradient nie istnieje, zawsze możesz obliczyć skończone różnice (różnica między sąsiadującymi pikselami), aby go przybliżyć, chociaż jest to mniej dokładne i wymaga więcej pracy.